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数学者のテレンス・タオが「危険な」問題を解く

経験豊富な数学者警告してCollat​​zの予想から遠ざけるためにやってくる。それはサイレンの歌だ、と彼らは言う:そのトランス状態に陥ると、あなたは二度と意味のある仕事をすることはないだろう。

からの許可を得て転載したオリジナルストーリー

Quanta Magazine、の編集上独立した出版物Simons Foundationの使命は、数学と物理学と生命科学の研究開発とトレンドをカバーすることにより、科学の一般的な理解を高めることです。

「これは本当に危険な問題です。ミシガン大学の数学者であり、コラッツ予想の専門家であるジェフリー・ラガリアスは、次のように述べています。

世界のトップ数学者の何人かはあえて問題に立ち向かいました。そして、コラッツ予想に関する最も重要な結果の1つを見つけました。

9月8日にTerence Taoが投稿しました少なくとも、Collat​​zの予想が「ほぼ」すべての数値について「ほぼ」真であることを示す証拠。タオの結果は推測の完全な証拠ではありませんが、それはその秘密を簡単に放棄しない問題に関する大きな進歩です。

この問題を完全に解決することを期待しています」と、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の数学者Tao氏は述べています。 「しかし、私がしたことは予想以上でした。」

Collat​​z Conundrum

Lothar Collat​​zはおそらくの名を冠した推測s。問題はパーティーのトリックのように聞こえます。任意の番号を選択します。奇数の場合は3を掛けて1を加算します。偶数の場合は2で除算します。これで新しい数値が得られます。同じルールを新しい番号に適用します。推測は、プロセスを繰り返し続けると何が起こるかに関するものです。いくつかの数字は最終的に1まで下がっていくかもしれません。他の数字は無限に行進するかもしれません。

しかし、コラッツはそうではないと予測しました。彼は、正の整数から始めてこのプロセスを十分に長く実行すると、すべての開始値が1になることを推測しました。1を押すと、Collat​​z推測のルールはループに制限されます:1、4、2、 1、4、2、1、そして永遠に。

長年にわたり、多くの問題解決者は、コラッツ予想の魅力的な単純さ、または「 「3x + 1の問題」も知られています。数学者は、数百の例をテストしました(つまり180)Collat​​zの予測に対する単一の例外を見つけることなく。多くの「Collat​​z計算機」をオンラインで使用して、いくつかの例を自分で試すこともできます。インターネットは、何らかの方法で問題を解決したと主張する根拠のないアマチュアの証拠であふれています。

イラスト:Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine

「3で乗算し、2で除算することを知っていれば、すぐに遊んでみることができます。グリンネル大学の数学者で、「」という問題に関する人気のあるYouTubeビデオを制作したマークチェンバーランドは、次のように述べています。 )最も単純な不可能な問題。」

しかし、正当な証拠はまれです。

の中に 1970、数学者は、ほとんどすべてのCollat​​zシーケンス(プロセスを繰り返すときに取得する数字のリスト)が最終的にどこよりも小さい数字に達することを示しましたあなたは始めました-弱い証拠ですが、それにもかかわらず、ほとんどすべてのCollat​​zシーケンスが1に向かって傾斜しているという証拠です。から) 今年のタオの結果まで、Ivan Korecはの記録を保持しましたこれらの数値がどれだけ小さくなるかを示す他の結果は、コアの懸念に対処することなく、同様に問題を取り上げています。

「私たちはCollat​​zの質問を本当によく理解していないので、スタンフォード大学の数学者で、推測に取り組んできたKannan Soundararajanは次のように述べています。

これらの努力の無益さは、多くの数学者を推測は単に現在の理解の範囲を超えていること、そして彼らは他の場所で研究時間を過ごすほうが良いと結論付けています。

「コラッツは悪名高い困難な問題です」サウスカロライナ大学のジョシュアクーパーは、電子メールで次のように述べています。

予期しないヒント

ラガリアは、少なくとも学生としての推測に最初に興味をそそられました40 数年前。何十年もの間、彼はCollat​​zのすべての非公式キュレーターを務めてきました。彼は、問題に関連する論文のライブラリを収集し、2010彼はそれらのいくつかをというタイトルの本として出版しました)究極のチャレンジ:3x + 1の問題

タオは通常、不可能な問題に時間を費やすことはありません。 2006彼は数学の最高の名誉であるフィールズメダルを獲得し、同世代のトップ数学者の一人として広く認められています。彼はパイプの夢を追いかけるのではなく、問題を解決するのに慣れています。

「数学者であるとき、それは実際には職業上の危険です」と彼は言いました。 「誰もが触れる能力をはるかに超えるこれらの有名な問題に夢中になる可能性があり、多くの時間を無駄にする可能性があります。」

しかし、タオは完全ではありません彼の分野の大きな誘惑に抵抗してください。毎年、数学の有名な未解決の問題の1つで1、2日、運試しをしています。長年にわたり、彼はCollat​​zの予想を解決するためにいくつかの試みを行いましたが、役に立ちませんでした。

その後、この8月、匿名の読者がタオのブログのコメント。コメンターは、それを完全に解決しようとするのではなく、「ほぼすべての」数のCollat​​z推測を解決しようとすることを提案しました。

そして彼が気づいたのは、コラッツ予想が、ある意味で、部分方程式と呼ばれる方程式のタイプに似ているということでした微分方程式—彼のキャリアの中で最も重要な結果のいくつかに登場しました。

入力と出力

偏微分方程式(PDE)を使用して、流体の進化や時空を通る重力の波紋など、宇宙で最も基本的な物理プロセスの多くをモデル化できます。システムの将来の位置(岩を投げてから5秒後の池の状態など)が、水の粘度や速度などの2つ以上の要因からの寄与に依存する状況で発生します。

複雑なPDEは、Collat​​z予想のような算術に関する簡単な質問とはあまり関係がないようです。

しかしTaoそれらについて似たようなものがあることに気づきました。 PDEを使用すると、いくつかの値をプラグインし、他の値を取得し、プロセスを繰り返します。すべてシステムの将来の状態を理解するためです。特定のPDEについて、数学者は、開始値に関係なく、開始値が最終的に出力として無限値になるかどうか、または方程式が常に有限値を生成するかどうかを知りたいと思っています。

Terence Taoは、彼のブログへのコメントに触発され、Collat​​z予想で数十年で最大の進歩を遂げました。

UCLAの提供

タオの場合、この目標は同じ味でしたあなたが何を入力しても、最終的にCollat​​zプロセスから常に同じ数(1)を取得するかどうかを調査しました。その結果、彼はPDEの研究手法がCollat​​z予想に適用できることを認識しました。

特に有用な手法の1つは、少数の初期値(少数の初期構成のように、池の水)およびそこから池の可能なすべての開始構成の長期的な挙動への外挿

Collat​​z予想のコンテキストでは、数の大きなサンプル。あなたの目標は、Collat​​zプロセスを適用したときのこれらの数値の振る舞いを研究することです。 に近い場合サンプルの数値の%は、正確に1か1に非常に近い値になります。ほとんどすべての数値は同じように動作すると結論付けるかもしれません。

しかし、結論が有効であるためには、非常に慎重にサンプルを作成する必要があります。課題は、大統領選挙で有権者のサンプルを生成することに似ています。世論調査から人口全体に正確に外挿するには、共和党員と民主党員、女性と男性などの正しい割合でサンプルに重み付けする必要があります。

数字には独自の「人口統計」特性があります。もちろん、奇数と偶数、および3の倍数である数、および微妙な方法で互いに異なる数があります。数字のサンプルを作成するとき、特定の種類の数字を含むように重みを付けることができます。他の数字ではなく、重みを選択するほど、数字全体についてより正確に結論を導き出すことができます。

Weighty Choices

Taoの課題は、適切な重みで数値の初期サンプルを作成する方法を考え出すよりもはるかに困難でした。 Collat​​zプロセスの各ステップで、作業中の数字が変わります。明らかな変更の1つは、サンプル内のほとんどすべての数値が小さくなることです。たとえば、100万から100万の数字のような、きれいで均一な分布から始めることができます。しかし、5回のCollat​​zの反復の後、数は数直線上のいくつかの小さな間隔に集中する可能性があります。言い換えると、良いサンプルから始めても、5ステップ後には絶望的に歪んでしまいます。

「通常、反復後の分布は完全に異なることが予想されます。

タオの重要な洞察は、全体を通して元の重みを大部分保持する数値のサンプルを選択する方法を見つけ出すことでしたCollat​​zプロセス。

たとえば、Tolaの開始サンプルは3の倍数を含まないように重み付けされています。これは、Collat​​zプロセスがとにかく3の倍数を取り除くためです。タオが思いついた他の重みのいくつかはより複雑です。彼は、3で除算された後の残りが1である数値に向かって開始サンプルを重み付けし、3で除算された後の残りが2である数値から離れています。

その結果、サンプルのタオはCollat​​zプロセスが進行してもその特性を維持することから始まります。

「彼はこのプロセスをさらに続ける方法を見つけたので、まだ何が起こっているかを知っている」とSoundararajanは言った。 「初めてこの論文を見たとき、私は非常に興奮し、非常に印象的だと思いました。」

タオはこの重み付け手法を使用して、ほぼすべてのCollat​​zの開始値を証明しました。 99パーセント以上-最終的に1に非常に近い値に達します。これにより、彼はの線に沿って結論を出すことができました。 パーセント1兆を超える開始値の最終的には以下の値に達します80。

これは間違いなく、長い歴史の中で最も強い結果です推測。

「この問題で何が起きているのかを知ることは、大きな進歩です」とラガリアスは言いました。 「これは確かに非常に長い時間で最高の結果です。」

タオの方法は、ほぼ間違いなく、Collat​​z予想の完全な証拠に到達することはできません。その理由は、プロセスの各ステップの後で、彼の開始サンプルがまだ少し歪んでいるためです。サンプルに1から離れた多くの異なる値が含まれている限り、スキューは最小限に抑えられます。しかし、Collat​​zプロセスが継続し、サンプルの数値が1に近づくにつれて、小さなスキュー効果がますます顕著になります。サンプルサイズが大きい場合、ポーリングでのわずかな誤算は重要ではありませんが、サンプルサイズが小さい場合は特大効果があります。

完全な証拠推測はおそらく異なるアプローチに依存するでしょう。その結果、タオの作品は好奇心をそそるCollat​​zへの勝利であり、警告でもあります。問題を追い詰めたのではないかと思うと、それは消えてしまいます。 Collat​​z予想にできるだけ近づけることができますが、まだ手の届かないところにあります」とTaoは言いました。

オリジナルストーリーから許可を得て転載Quanta Magazine Simons Foundationの編集上独立した出版物その使命は、数学と物理学および生命科学の研究開発とトレンドを網羅することにより、科学の一般的な理解を高めることです。


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